学而思奥数天天练栏目每日精选中等、高等难度试题各一道。中难度试题适合一些有过思维基础训练、考题学习经历，并且奥数成绩中上的学生。高难度试题立足于杯赛真题、综合应用和加深各知识点，适合一些志在竞赛中夺取佳绩的学生。

　　·本周试题由学而思教研部《小学奥数系统总复习》编者白亚娟老师精选、解析，以保证试题质量。

　　·每周末，我们将一周试题汇总为word版本试卷，您可下载打印或在线阅读。

　　·每道题的答题时间不应超过15分钟。答案明日公布！

    【计数专题】

　　1．难度：★★★

　　在下图中，用水平或者垂直的线段连接相邻的字母，当沿着这些线段行走时，正好拼出"APPLE"的路线共有多少条？

　　【解析】要想拼出英语"APPLE"的单词，必须按照"A→P→P→L→E"的次序拼写．在图中的每一种拼写方式都对应着一条最短路径．如下图所示，运用标号法原理标号得出共有31种不同的路径．

　　2．难度：★★★★

　　对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1，如此进行直到得数为1操作停止．问经过9次操作变为1的数有多少个？

　　【解析】可以先尝试一下，倒推得出下面的图：

　　其中经1次操作变为1的1个，即2，

　　经2次操作变为1的1个，即4，

　　经3次操作变为1的2个，是一奇一偶，

　　以后发现，每个偶数可以变成两个数，分别是一奇一偶，每个奇数变为一个偶数，于是，经1、2、…次操作变为1的数的个数依次为：1，1，2，3，5，8，…

　　这一串数中有个特点：自第三个开始，每一个等于前两个的和，即即经过9次操作变为1的数有34个.

　　为什么上面的规律是正确的呢？

　　道理也很简单.设经过n次操作变为1的数的个数为,则=1，=1，=2，…

　　从上面的图看出，比大.

　　一方面，每个经过n次操作变为1的数，乘以2，就得出一个偶数，经过n+1次操作变为1；反过来，每个经过n+1次操作变为1的偶数，除以2，就得出一个经过n次操作变为1的数.所以经过n次操作变为1的数与经过n+1次操作变为1的偶数恰好一样多.前者的个数是,因此后者也是个.

　　另一方面，每个经过n次操作变为1的偶数，减去1，就得出一个奇数，它经过n+1次操作变为1，反过来.每个经过n+1次操作变为1的奇数，加上1，就得出一个偶数，它经过n次操作变为1.所以经过n次操作变为1的偶数经过n+1次操作变为1的奇数恰好一样多.

　　而由上面所说，前者的个数就是,因此后者也是.

　　经过n+1次操作变为1的数，分为偶数、奇数两类，所以=+，即上面所说的规律的确成立.
 

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